Principe de récurrence - Exemple

On considère la suite  $(u_n)$ définie par  $u_0=0$ et, pou r tout entier naturel $n$ ,   $u_{n+1}=u_n+2n+1$ .
On calcule les premiers termes de la suite :   $u_0=0$  ; $u_1=1$  ; $u_2=4$  ; $u_3=9$ .
On souhaite démontrer que, pour tout entier naturel $n$ , $u_n=n^2$ .
Pour tout entier naturel $n$ , on pose  $P_n$ : «   $u_n=n^2$ ».

• Initialisation  
  $u_0=0$   et  $0^2=0$ .
  $u_0=0^2$  donc  $P_0$ est vraie.
  
• Hérédité
  Soit  $n$ un entier naturel fixé.
  On suppose que $u_n=n^2$ .
  On montre que $u_{n+1}=(n+1{)}^2$ .   
  D'après la définition de la suite, on sait que $u_{n+1}=u_n+2n+1$ .
  On a donc, d'après l'hypothèse de récurrence, $u_{n+1}=n^2+2n+1$ .
  D'après  la première  identité remarquable,  $u_{n+1}=(n+1{)}^2$ et ainsi $P_{n+1}$ est vraie.
  
• Conclusion
  Par récurrence, pour tout $n\in \mathbb{N}$ ,  $u_n=n^2$ .